? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?柯西：微積分發(fā)展史上的精華

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2019-5-8 青野云麓

柯西(Cauchy, 1789—1857)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家。19世紀(jì)初期，微積分已發(fā)展成一個(gè)龐大的分支,，內(nèi)容豐富，應(yīng)用非常廣泛。與此同時(shí)，它的薄弱之處也越來越暴露出來，微積分的理論基礎(chǔ)并不嚴(yán)格。為解決新問題并澄清微積分概念，數(shù)學(xué)家們展開了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作，在分析基礎(chǔ)的奠基工作中，做出卓越貢獻(xiàn)的要首推偉大的數(shù)學(xué)家柯西。

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國(guó)的大數(shù)學(xué)家拉格朗日與拉普拉斯交往密切?？挛魃倌陼r(shí)代的數(shù)學(xué)才華頗受這兩位數(shù)學(xué)家的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅(jiān)實(shí)的文學(xué)教育”，以便他的愛好不致把他引入歧途。父親因此加強(qiáng)了對(duì)柯西的文學(xué)教養(yǎng)，使他在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。

1807年至1810年柯西在工學(xué)院學(xué)習(xí)，曾當(dāng)過交通道路工程師。由于身體欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數(shù)學(xué)的研究?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的精華，也是柯西對(duì)人類科學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻(xiàn)。

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1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，后經(jīng)魏爾斯特拉斯改進(jìn)，成為現(xiàn)在所說的柯西極限定義或叫定義。當(dāng)今所有微積分的教科書都還（至少是在本質(zhì)上）沿用著柯西等人關(guān)于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、收斂等概念的定義。他對(duì)微積分的解釋被后人普遍采用?？挛鲗?duì)定積分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運(yùn)算之前，強(qiáng)調(diào)必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來魏爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格的論述。從而結(jié)束微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念、運(yùn)動(dòng)和直觀了解的完全依賴中解放出來，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。

數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上柯西提出了級(jí)數(shù)收斂性理論。會(huì)后，拉普拉斯急忙趕回家中，根據(jù)柯西的嚴(yán)謹(jǐn)判別法，逐一檢查其巨著《天體力學(xué)》中所用到的級(jí)數(shù)是否都收斂。

柯西在其它方面的研究成果也很豐富。復(fù)變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學(xué)、彈性理論方面，也有突出貢獻(xiàn)?？挛鞯臄?shù)學(xué)成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人。柯西全集有27卷，其論著有800多篇，在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家。他的光輝名字與許多定理、準(zhǔn)則一起銘記在當(dāng)今許多教材中。

作為一位學(xué)者，他思路敏捷，功績(jī)卓著。從柯西卷帙浩大的論著和成果，人們不難想象他一生是怎樣孜孜不倦地勤奮工作。但柯西卻是個(gè)具有復(fù)雜性格的人。他是忠誠(chéng)的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡合的學(xué)者。尤其作為久負(fù)盛名的科學(xué)泰斗，他常常忽視青年學(xué)者的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾與伽羅華的開創(chuàng)性的論文手稿，造成群論晚問世約半個(gè)世紀(jì)。

1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一句名言“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績(jī)永存?！遍L(zhǎng)久地叩擊著一代又一代學(xué)子的心扉。

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柯西在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作，不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評(píng)高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)說，法國(guó)科學(xué)院''會(huì)刊''創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長(zhǎng)的只能有四頁，所以，柯西較長(zhǎng)的論文只得投稿到其它地方。

柯西在幼年時(shí)，他的父親常帶領(lǐng)他到法國(guó)參議院內(nèi)的辦公室，并且在那里指導(dǎo)他進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此他有機(jī)會(huì)遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對(duì)他的才能十分賞識(shí)；拉格朗日認(rèn)為他將來必定會(huì)成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)。

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個(gè)人軼事

綽號(hào)

柯西在學(xué)生時(shí)代，有個(gè)綽號(hào)叫『苦瓜』，因?yàn)樗匠Ｏ褚活w苦瓜一樣，靜靜地不說話，如果說了什么，也很簡(jiǎn)短，令人摸不著頭緒，和這種人溝通，是很痛苦的。柯西的身邊沒有朋友，只有一群妒嫉他聰明的人。當(dāng)時(shí)法國(guó)正在流行社會(huì)哲學(xué)，柯西工作之余?？吹臅?，卻是拉格朗日(Joseph Louis Lagrance，1736-1813)的數(shù)學(xué)書，與靈修書籍《效法基督》，這使他贏得另一個(gè)外號(hào)『腦筋劈哩啪啦叫的人』，意即神經(jīng)病。

柯西的母親聽到了傳言，就寫信問他實(shí)情?？挛骰匦诺溃骸喝绻酵綍?huì)變成精神病人，那瘋?cè)嗽涸缇捅徽軐W(xué)家充滿了。親愛的母親，您的孩子像原野上的風(fēng)車，數(shù)學(xué)和信仰就是他的雙翼一樣，當(dāng)風(fēng)吹來的時(shí)候，風(fēng)車就會(huì)平衡地旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生幫助別人的動(dòng)力?！?/span>

1816年，柯西回到巴黎，擔(dān)任母校的數(shù)學(xué)教授，柯西自己寫道：『我像是找到自己河道的鮭魚一般地興奮?！徊痪盟徒Y(jié)婚，幸福的婚姻生活，有助于他與別人溝通的能力。

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出名

數(shù)學(xué)大師伯努利曾說過：『只有數(shù)學(xué)能夠探討「無窮」，而「無窮」正是上帝的屬性之一』。物理、化學(xué)、生物都是有限之內(nèi)的學(xué)科，『無窮』才能代表永遠(yuǎn)測(cè)不透的極限。『無窮』的觀念令哲學(xué)家瘋征、讓神學(xué)家嘆息，使許多人深感懼怕?？挛鲄s把『無窮』應(yīng)用來厘定更精確的數(shù)學(xué)含義，他把數(shù)學(xué)的微分看或是『無窮小時(shí)的變化』，把積分表示為『無窮多個(gè)無窮小之和』?？挛饔脽o窮重新定義微積分，至今仍為每一本微積分課本的開宗明義篇。

1821年，柯西的名聲遠(yuǎn)播。遠(yuǎn)自柏林、馬德里、圣彼得堡的學(xué)生，都來到他的教室里上課，他又發(fā)表非常有名的『特征值』理論，同時(shí)寫道：『在純數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，似乎沒有實(shí)際的物理現(xiàn)象來印證，也沒有自然界的事物可說明，但那是數(shù)學(xué)家遙遙望見的應(yīng)許之地。理論數(shù)學(xué)家不是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者，而是這個(gè)應(yīng)許之地的報(bào)導(dǎo)者』。

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晚年

四十歲后的柯西不愿對(duì)新政府效忠，他認(rèn)為學(xué)術(shù)應(yīng)有不受政治影響的自由。他放棄工作與祖國(guó)，帶著妻子到瑞士、意大利旅行教書，各地大學(xué)都很歡迎他。但是他寫道：『對(duì)數(shù)學(xué)的興奮，是身體無法長(zhǎng)期的負(fù)荷，累！』柯西四十歲后，下課后就不再做研究工作了。

他身體逐漸衰弱，一八三八年他再回巴黎大學(xué)教書，但為政治效忠問題再度離開。因著他的堅(jiān)持，一八四八年法國(guó)通過大學(xué)教授的學(xué)術(shù)自由，是以個(gè)人的良心為底限，不在政治限制之內(nèi)。從此世界各大學(xué)紛紛跟進(jìn)這個(gè)制度，大學(xué)成為學(xué)術(shù)自由的地方。

巴黎紙貴

傳說柯西年輕的時(shí)候向巴黎科學(xué)院學(xué)報(bào)投論文，非常之快，非常之多使得印刷廠為了印制這些論文搶購了巴黎市所有紙店的存貨，使得市面上紙張短缺，紙價(jià)大增，印刷廠成本上升，于是科學(xué)院通過決議，以后發(fā)表論文每篇篇幅不得超過4頁?？挛鞑簧匍L(zhǎng)篇論文不得在本國(guó)發(fā)表，只能改投別國(guó)刊物。

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個(gè)人成就

柯西是一位著名的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最后一卷，總計(jì)28卷。他的主要貢獻(xiàn)如下；

單復(fù)變函數(shù)

柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實(shí)定積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。

分析基礎(chǔ)

柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分（即無窮小分析，簡(jiǎn)稱分析）以來，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進(jìn)一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論。

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極限論的功能

設(shè)函數(shù)f(x）在點(diǎn)x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x。|<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：

|f(x)-A|<ε

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x）當(dāng)x→x。時(shí)的極限。

“嚴(yán)格來說，沒有數(shù)學(xué)證明這種東西，分析到最后，除了指指點(diǎn)點(diǎn)，我們什么也不會(huì)干；……證明就是我和李托伍德叫做神吹的那套玩意兒，是編出來打動(dòng)人心的花言巧語，是上課夠在黑板上的圖畫，是激發(fā)學(xué)生想象力的手法。”——哈代。

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數(shù)學(xué)太重要了，在中國(guó)與語文學(xué)有著同樣的地位。其原因就在于數(shù)學(xué)本身就是一種語言，而且是一種世界語言，具有普遍性。所以，嚴(yán)格的區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)概念的詞性，是非常有必要的，不僅是數(shù)學(xué)本身的要求，也是語言科學(xué)的要求。

總之，柯西是一位非常偉大的科學(xué)家。